263.Il nous faut sup­po­ser main­te­nant que les capi­taux neufs sont des­ti­nés à don­ner des pro­fits pro­duc­teurs, c’est-à-dire des pro­fits consom­més plus direc­te­ment, mais dans la fa­bri­ca­tion de pro­duits, et voir quelle est, dans ce cas, la condi­tion de maxi­mum de leur utili­té effective.

Soient donc enfin

Δa	=	δa,1	+	δa,2	+	δa,3	+	…
Δb	=	δb,1	+	δb,2	+	δb,3	+	…
Δc	=	δc,1	+	δc,2	+	δc,3	+	…
Δd	=	δd,1	+	δd,2	+	δd,3	+	…

des quan­ti­tés de pro­duits (A), (B), (C), (D)… consom­mées res­pec­ti­ve­ment par des échan­geurs (1), (2), (3)… aux prix p_b , p_c , p_d… de (B), (C), (D)… en (A). Soient, comme pré­cé­dem­ment (§ 247), a_t… a_p , a_k , a_k′ , a_k″… b_t… b_p , b_k , b_k′ , b_k″… c_t… c_p , c_k , c_k′ , c_k″… d_t… d_p , d_k , d_k′ , d_k″… les coeffi­cients de fa­bri­ca­tion, c’est-à-dire les quan­ti­tés res­pec­tives de ser­vices (T)… (P)… (K), (K′), (K″)… qui entrent dans la confec­tion de cha­cun de ces pro­duits (A), (B), (C), (D)… et soient, en conséquence,

Dk

=

ak

Δa

+

bk

Δb

+

ck

Δc

+

dk

Δd

+ …

Dk′

=

ak′

Δa

+

bk′

Δb

+

ck′

Δc

+

dk′

Δd

+ …

Dk″

=

ak″

Δa

+

bk″

Δb

+

ck″

Δc

+

dk″

Δd

+ …

.     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

des quan­ti­tés qui sont à la fois les ­quan­ti­tés de pro­fits neufs (K), (K′), (K″)… em­ployées res­pec­ti­ve­ment dans la fa­bri­ca­tion de (A), (B), (C), (D)… et les ­quan­ti­tés de capi­taux neufs (K), (K′), (K″)… fabri­quées pour être em­prun­tées par les pro­duc­teurs. Et soient tou­jours P_k, P_k′, P_k″… les prix de ces capi­taux, de telle sorte que l’on ait

Dk

Pk

+

Dk′

Pk′

+

Dk″

Pk″

+ … =

E,

E étant tou­jours l’ex­cèdent total du re­ve­nu sur la consom­ma­tion à dis­tri­buer par la so­cié­té entre les l es­pèces de capi­taux neufs.

Soient d’ailleurs

u = Φa,1 (q),

u = Φb,1 (q),

u = Φc,1 (q),

u = Φd,1 (q) …

les équa­tions ex­pri­mant les utili­tés ef­fec­tives des pro­duits (A), (B), (C), (D)… pour l’échan­geur (1) en fonc­tion des quan­ti­tés consom­mées de ces pro­duits égales aux quo­tients des ­quan­ti­tés em­ployées de pro­fits pro­duc­teurs, ou des quan­ti­tés fabri­quées de capi­taux pro­duc­teurs, par les coeffi­cients de fa­bri­ca­tion, et, par conséquent,

Φa,1 (δa,1)

+

Φb,1 (δb,1)

+

Φc,1 (δc,1)

+

Φd,1 (δd,1)

+

…

l’uti­li­té ef­fec­tive to­tale de ces pro­duits à rendre maxi­ma par la dis­tri­bu­tion des épar­gnes entre les di­verses va­rié­tés de capi­taux neufs. Les déri­vées des fonc­tions Φ étant es­sen­tiel­le­ment dé­crois­santes, le maxi­mum d’uti­li­té ef­fec­tive des capi­taux neufs aura lieu, pour notre indi­vi­du, quand les sommes des ac­crois­se­ments dif­fé­ren­tiels par­tiels d’uti­li­té rela­tifs aux quan­ti­tés fabri­quées de cha­cun des capi­taux neufs se­ront égales deux à deux en même temps que de signe contraire, puisque, si on sup­pose deux quel­conques d’entre ces sommes iné­gales et de signe contraire, il y aura avan­tage à fa­bri­quer moins du ca­pi­tal pour le­quel la somme des ac­crois­se­ments dif­fé­ren­tiels est plus faible pour fa­bri­quer plus de celui pour le­quel elle est plus forte. La seule diffi­cul­té qui se pré­sente ici est qu’au lieu que les ac­crois­se­ments dif­fé­ren­tiels d’uti­li­té rela­tifs aux quan­ti­tés fabri­quées de cha­cun des capi­taux neufs se pré­sentent à nous isolé­ment les uns des autres, nous les trou­vons confon­dus dans les ac­crois­se­ments dif­fé­ren­tiel d’uti­li­té rela­tifs aux quan­ti­tés consom­mées de produits dont nous avons à les dégager.

Or, d’une part, les déri­vées des fonc­tions d’uti­li­té ef­fec­tive par rap­port aux quan­ti­tés consom­mées de pro­duits ne sont autre chose que les rare­tés qui sont di­rec­te­ment pro­por­tion­nelles aux prix de vente des pro­duits 1 , p_b , p_c , p_d … sui­vant les équations

ra,1	=	rb,1	=	rc,1	=	rd,1	=	…
1		pb		pc		pd

et ces prix de vente des pro­duits sont égaux à leurs prix de re­vient, sui­vant les équations

1

=

at pt

+

…

+

ap pp

+

…

+

ak pk

+

ak′ pk′

+

ak″ pk″

+

…

pb

=

bt pt

+

…

+

bp pp

+

…

+

bk pk

+

bk′ pk′

+

bk″ pk″

+

…

pc

=

ct pt

+

…

+

cp pp

+

…

+

ck pk

+

ck′ pk′

+

ck″ pk″

+

…

pd

=

dt pt

+

…

+

dp pp

+

…

+

dk pk

+

dk′ pk′

+

dk″ pk″

+

…

.     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

d’où il ré­sulte que toutes ces déri­vées peuvent être dé­com­po­sées en par­ties di­rec­te­ment pro­por­tion­nelles aux frais de pro­duc­tion en fer­ma­gers, sa­laires et inté­rêts et, en par­ti­cu­lier, aux pro­duits des coeffi­cients de fa­bri­ca­tion par les prix des pro­fits p_k , p_k′ , p_k″… Et, d’autre part, les diffé­ren­tielles des quan­ti­tées consom­mées de pro­duits peuvent être rem­pla­cées par les quo­tients des diffé­ren­tielles des quan­ti­tés de pro­fits em­ployées dans la confec­tion de ces pro­duits (les­quelles, ici, sont aus­si lesdif­fé­ren­tielles des quan­ti­tés fabri­quées de cha­cun des capi­taux neufs) par les coeffi­cients de fa­bri­ca­tion, sui­vant les équations

dδa,1	=	dδk,1,a	=	dδk′,1,a	=	dδk″,1,a	=	…
		ak		ak′		ak″
dδb,1	=	dδk,1,b	=	dδk′,1,b	=	dδk″,1,b	=	…
		bk		bk′		bk″
dδc,1	=	dδk,1,c	=	dδk′,1,c	=	dδk″,1,c	=	…
		ck		ck′		ck″
dδd,1	=	dδk,1,d	=	dδk′,1,d	=	dδk″,1,d	=	…
		dk		dk′		dk″
.     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

et, au point de vue du pro­blème de la dis­tri­bu­tion par une so­cié­té d’un cer­tain ex­cé­dent du re­ve­nu sur la consom­ma­tion entre les di­verses va­rié­tés de ca­pi­ta­li­sa­tion, ces diffé­ren­tielles ddes quan­ti­tés fabri­quées de cha­cun des capi­taux neufs sont égales entre elles, pour un même capi­tal, sui­vant les équations

dδk,1,a	=	dδk,1,b	=	dδk,1,c	=	dδk,1,d	=	…	=	dδk,1	,
dδk′,1,a	=	dδk′,1,b	=	dδk′,1,c	=	dδk′,1,d	=	…	=	dδk′,1	,
dδk″,1,a	=	dδk″,1,b	=	dδk″,1,c	=	dδk″,1,d	=	…	=	dδk″,1	…

De sorte que, fina­le­ment, l’éga­li­té deux à deux avec signe contraire des sommes des ac­crois­se­ments dif­fé­ren­tiels par­tiels d’uti­li­té d’où ré­sulte le maxi­mum que nous cher­chons peut s’ex­pri­mer par le sys­tème d’équations :

D’ail­leurs, au même point de vue qui est ici le nôtre, les sommes al­gébriques deux à deux des pro­duits des prix P_k , P_k′ , P_k″… des di­vers capi­taux neufs par les diffé­ren­tielles des quan­ti­tés fabri­quées de ces capi­taux, sont tou­jours, en ver­tu de l’équa­tion [2], nulles sui­vant les équa­tions

Pk dδk,1	+	Pk′ dδk′,1	=	0	,
Pk dδk,1	+	Pk″ dδk″,1	=	0	…

La condition d’utilité maxima des capitaux neufs pour cet échangeur peut donc s’exprimer par le système d’équations :

	ak pk	+	bk pk	+	ck pk	+	dk pk	+	…
	ak Pk		bk Pk		ck Pk		dk Pk
=	ak′ pk′	+	bk′ pk′	+	ck′ pk′	+	dk′ pk′	+	…
	ak′ Pk′		bk′ Pk′		ck′ Pk′		dk′ Pk′
=	ak″ pk″	+	bk″ pk″	+	ck″ pk″	+	dk″ pk″	+	…
	ak″ Pk″		bk″ Pk″		ck″ Pk″		dk″ Pk″
=	.     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

lequel exprimerait également la condition du maximum d’utilité effective des capitaux neufs pour les ééchangeurs (2), (3)… Et, cela étant, la condition du maximum d’utilité effective des services des capitaux neufs, dans le cas où ils sont destinés à donner des profits producteurs et non plus consommables, s’exprime toujours par le système d’équations

	pk	=	pk′	=	pk″	=	…
	Pk		Pk′		Pk″

Donc il est cer­tain que : — ­Soit que l’ex­cé­dent du re­ve­nu sur la consom­ma­tion se trans­forme en capi­taux à ser­vices consom­mables ou en capi­taux à ser­vices pro­duc­teurs, le maxi­mum d’uti­li­té ef­fec­tive des ser­vices de ces capi­taux neufs a lieu, pour la so­cié­té, quand le rap­port du prix du pro­fit au prix du capi­tal, ou le taux de re­ve­nu brut, est le même pour tous les capitaux.